Лекции
Четвертый модуль
- Лекция 17 (02.04.19). Факториальные кольца. Поле частных. Лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом.
- Лекции 18-19 (09.04.19). Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Результант.
- Лекция 20 (11.04.19). Дискриминант. Нетеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.
- Лекция 21 (25.04.19). Полиномиальные инварианты действия групп. Основная теорема теории инвариантов.
- Лекции 22-23 (30.04.19). Полилинейные отображения. Тензорное произведение пространств. Универсальное свойство. Расширения полей. Вложение Сегре.
- Лекция 24 (14.05.19) Тензорное произведение операторов. Тензорные степени пространства. Свертка. Примеры.
- Лекция 25 (16.05.19) Обозначения Эйнштейна для тензоров. Свертка. Спуск и подъем индексов с помощью метрического тензора.
- Лекция 26 (21.05.19) Тензорная алгебра, универсальное свойство. Симметрические степени векторного пространства, симметрическая алгебра.
- Лекция 27 (28.05.19) Внешние степени векторного пространства, внешняя алгебра. Определитель, разложение по столбцу. Разложимые поливекторы, грассманиан, уравнения грассманиана Gr(2,n).
- Лекция 28 (30.05.19) Еще о тензорной, симметрической и внешней алгебрах. Симметрические и кососимметрические тензоры. Комплексное пространство со скалярным произведением.
- Лекция 29 (04.06.19) Полуторалинейные и эрмитовы формы. Эрмитово пространство, сопряженный оператор.
- Лекция 30 (06.06.19) Эрмитовы, косоэрмитовы и унитарные операторы. Диагонализуемость, собственные значения. Группы U(n) и SU(n).
- Лекция 31 (11.06.19). Кватернионы. Эпиморфизм SU(2)->SO(3).
Третий модуль
- Лекция 1 (10.01.19). Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Гомоморфизмы групп. [В, 4.1, 4.6]
- Лекция 2 (15.01.19). Теорема о гомоморфизме групп. Свободные группы. Задание группы образующими и соотношениями. [В 4.6, DF 6.3]
- Лекция 3 (22.01.19). Прямое произведение групп. Абелевы группы. Свободные абелевы группы, базис, ранг. [В 9.1]
- Лекция 4 (24.01.19). Подгруппы в свободной абелевой группе, неравенство на ранги. Теорема о взаимных базисах. [В 9.1]
- Лекция 5 (29.01.19). Конечнопорожденные абелевы группы как факторы свободных. Подгруппы кручения и p-кручения. Представление к.п. абелевой группы как суммы примарных циклических, единственность такого представления. [В 9.1]
- Лекция 6 (31.01.19). Автоморфизмы групп. Полупрямые произведения. [В 10.1]
- Лекция 7 (05.02.19). Коммутант. Разрешимые группы. [В 10.2]
- Лекция 8 (12.02.19). Силовские подгруппы. Теоремы Силова. [В 10.4]
- Лекция 9 (14.02.19). Простые группы. Ряд Жордана-Гёльдера. Простота группы A_n. [В 10.5]
- Лекция 10 (19.02.19). Правильные многогранники и их группы симметрий. Формула Бернсайда. [В 4.2, 10.3]
- Лекция 11 (26.02.19). Кольца. Идеалы. Кольца главных идеалов, их факториальность. [В 9.2, 9.7]
- Лекция 12 (28.02.19). Факторкольца, гомоморфизмы, теорема о гомоморфизме. Китайская теорема об остатках. Простые и максимальные идеалы, факторы по ним. [В 9.4]
- Лекция 13 (07.03.19). Модули над кольцами. Подмодули, фактормодули, гомоморфизмы. Свободные модули. Подмодуль свободного модуля над КГИ свободен. [В 9.3]
- Лекция 14 (12.03.19). Теорема о структуре конечнопорожденных модулей над КГИ. Каноническое и примарное разложение. [В 9.3, DF 12.1]
- Лекция 15 (14.03.19). Фробениусова нормальная форма. [DF 12.2]
- Лекция 16 (19.03.19). Жорданова нормальная форма. Собственные и корневые подпространства. Структура нильпотентного оператора. [В 6.4, DF 12.3]
Литература
- [В] Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011 (или любое другое издание)
- [Г] А.Л. Городенцев. Алгебра. Учебник для студентов-математиков. М.: МЦНМО, 2013
- [DF] David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra. 3rd Edition, John Wiley & Sons, 2004