Evgeny Smirnov's classes

Симметрические функции

(24.12.18) Экзаменационные работы проверены, оценки проставлены. Работы можно посмотреть в 307 кабинете, если там кто-то будет; они лежат на подоконнике. Просьба их из кабинета не уносить!

Список оценок за контрольную и экзамен лежит тут.

Итоговая оценка является суммой количества решенных задач в контрольной работе (до 5) и экзамене (до 9). Каждый пункт — это отдельная задача. Итого максимум — 14 (кстати, его никто не набрал). В правой части списка — оценки, пересчитанные из 10 баллов, чтобы было что проставлять в ведомость.


Лекция 1 (12.09.18): Симметрические многочлены: определение. Базисы кольца симметрических функций: мономиальный базис, элементарные и полные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Производящие функции, инволюция e-h. Кососимметрические функции. Многочлены Шура.

Семинар 1

Лекция 2 (19.09.18): Формула Якоби-Труди. Кольцо симметрических функций как обратный предел колец симметрических многочленов, базисы кольца симметрических функций.

Семинар 2

Лекция 3 (26.09.18): Комбинаторное определение многочленов Шура. Лемма Линдстрема-Гесселя-Вьенно о непересекающихся путях. Формула Якоби-Труди. Эквивалентность алгебраического и комбинаторного определений.

Семинар 3

Лекция 4 (03.10.18): Числа Костки. Формулы Пьери, выражение полных/элементарных симметрических функций через многочлены Шура. Два вычисления произведения Коши.

Семинар 4

Лекция 5 (10.10.18): Первая и вторая формулы Коши. Скалярное произведение на симметрических функциях. Ортонормированность многочленов Шура. Порядок роста числа полустандартных таблиц данной формы, связь с числом стандартных таблиц.

Семинар 5

Лекция 6 (17.10.18): Массивы. Операции над массивами. Перестановочность горизонтальных и вертикальных операций. Уплотнение массива, независимость от порядка уплотнения. Биплотные массивы.

Семинар 6. Главная специализация многочлена Шура.

24.10.18 занятий не было.

31.10.18 состоялась контрольная работа по материалам первого модуля.

Лекция 7 (7.11.18). Массивы (продолжение). Массивы как расслоенное произведение плотных влево и плотных вниз массивов. Строчная развертка массива. Таблицы Юнга и слова Яманучи.

Семинар 7. RSK-соответствие.

Лекция 8 (14.11.18). Массивы (окончание). Правило Литтлвуда-Ричардсона.

Семинар 8. Применение правила Литтлвуда-Ричардсона. Вывод формул Пьери.

Лекция 9 (21.11.18) Операторы разделенных разностей. Нильалгебра Гекке и симметрическая группа.

Семинар 9. Приведенные разложения элемента симметрической группы. «Канонический вид» приведенного слова.

Лекция 10 (28.11.18) Многочлены Шуберта. Существование, единственность, линейная независимость.

Семинар 10. Порядок Брюа на симметрической группе.

Лекция 11 (5.12.18) Формула Монка. Умножение многочлена Шуберта на переменную. Формула перехода Ласку.

Семинар 11. Pipe dreams.

Лекция 12 (12.12.18) Теорема Кириллова-Фомина. Доказательство с помощью формулы перехода Ласку. Связность графа pipe dream’ов, нижний pipe dream и код Лемера перестановки.

Семинар 12. Грассмановы перестановки. Многочлены Шуберта грассмановых перестановок совпадают с многочленами Шура.

Экзамен состоится 19.12.18 с 12:00 до 15:00.

Задачи для подготовки к экзамену.