Спирали • АЛАГ • t-стабильность • Сизигии
Я занимаюсь алгеброй и геометрией расслоений и пучков на алгебраических, аналитических, симплектических и разных других многообразиях, а также их приложениями к математетической физике. Вот некоторые из сюжетов:
- Теория спиралей
Эта техника работы с полуортогональными базисами триангулированных категорий была придумана мною в 1986-87 годах для описания исключительных векторных расслоений на проективных пространствах и поверхностях Дель Пеццо (см. Gorodentsev A.L., Rudakov A.N. Exceptional vector bundles on projective spaces. Duke Math. J. 54 (1987) p.115-130). Сейчас эта теория рассматривается как зеркально симметричный партнёр теории Пикара–Лефшеца.- Слайды доклада «Mukai lattices» 27 августа 2013г. на конференции GEOQUANT-2013
- A.L.Gorodentsev. S.A.Kuleshov. «The Helix theory». Moscow Math. J. 4:2 (2004), p.377–440
- АЛАГ
Абелева Лагранжева Алгебраическая Геометрия была создана А.Н.Тюриным (см. math.AG/9902027 и math.AG/9909094). Это алгебро-геометрическая точка зрения на геометричекое квантование, неабелевы тета-функции, связности на расслоениях конформных блоков и т.п. Основными объектами объектами теории являются пространства полувзвешенных бор-зоммерфельдовых и планковых циклов на симплектическом многообразии, оснащённом эрмитовам линейным расслоением предквантования.- Слайды доклада «ALAG» 18 сентября 2014 на конференции «Наука будущего»
- A.L.Gorodentsev. A.N.Tyurin. «ALAG». Izvestia RAN Ser. Math. 65:3 (2001) p.15–50 (русская версия).
- t-стабильность.
Это понятие ввёл Tom Bridgeland (см. math.AG/0212237). Оно обобщает понятие стабильности из геометрической теории инвариантов и является инструментом для работы функториальными фильтрациями на триангулированных категориях. Классические фильтрации Гардера–Нарсимхана и Гротендика на категории когерентных пучков, каноническая когомологическая фильтрация, ассоциированная с t-структурой, ортогональные разложения триангулированных категории по исключительным базисам — все эти примеры единообразно обслуживаются подходящими данными стабильности.- A.L.Gorodentsev, S.A.Kuleshov, A.N.Rudakov. «t-stabilities and t-structures on triangulated categories». Izvestia RAN: Ser. Math. 68:4 (2004) p.117–150 (русская версия)
- A.L.Gorodentsev. S.A.Kuleshov. «On finest and modular t-stabilities». Moscow Seminar on Mathematical Physics, II. AMS Translations, ser. 2, vol. 221 (2007), p. 121–146
- Сизигии проективных многоообразий
Это старый классический сюжет проективной геометрии и гомологической алгебры: как устроена минимальная свободная резольвента однородной координатной алгебры проективного многообразия, какие алгебраические структуры на ней имеются и какие геометрические свойства за ними стоят? В работе- A.L.Gorodentsev, A.S.Khoroshkin, A.N.Rudakov. «On syzygies of highest weight orbits». Moscow Seminar on Mathematical Physics, II. AMS Translations, ser. 2, vol. 221 (2007), p. 79–120
мы построили изоморфизм алгебры сизигий проективизированной орбиты старшего вектора неприводимого представления комплексной полупростой группы Ли с алгеброй когомологий некоторой естественной градуированной супералгебры Ли и в качестве иллюстрации по-новому вычислили сизигии грассманианов Gr(2,N) в стандартном плюккеровом вложении.