Вопросы по курсу Введение в теорию чисел
shinymath, · Categories: РазноеЕсли у вас есть математический вопрос, который может быть интересен студентам курса Введение в теорию чисел, то вы можете задать его в комментариях к этому посту. Лектор постарается ответить на ваш вопрос здесь же.
Здравствуйте. Вы однажды упомянули, что математики долго не могли привыкнуть к конечным полям или додуматься до них и использовали какую-то другую структуру, но я совсем забыл – какую?
Я где-то читала (кажется, речь шла про диссертацию Эмиля Артина), что ещё в начале XX века в теории чисел вместо концепции конечного поля использовалась концепция нормирования на кольцах целых разных полей нулевой характеристики. К примеру, вместо поля из девяти элементов можно рассмотреть 3-адическое нормирование на кольце целых гауссовых чисел, которое сопоставляет числу показатель максимальной степени тройки, на которую это число делится. Тогда возникает максимальный идеал из всех целых гауссовых чисел, на которых нормирование принимает значения строго больше нуля. Можно рассматривать всё кольцо по модулю этого идеала. Фактически, получится поле из девяти элементов, но другими словами.
Я постараюсь найти, где я это читала, тогда возможно, уточню ответ. Пока это лично моя историческая реконструкция на базе одной фразы (без изучения первоисточников).
Нашла работу, в которой изучается в историческом контексте диссертация Эмиля Артина о гипотезе Римана для функциональных полей:
https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~roquette/rv.pdf
Автор использует переписку Артина с другими математиками, чтобы отследить развитие идей. Там много интересных моментов, например, Артин переоткрыл результат Якобшталя (про явное представление в виде суммы двух квадратов) из совсем других соображений. В общем, сразу не разберёшься во всём, но уже видно, что конечное поле Артин всё-таки использовал в достаточно современном виде. Так что моя реконструкция, если и имела место, то до Артина.
Кстати, у того же автора есть другой текст про историю теории нормирований, тоже основанный на изучении переписки математиков первой половины XX века и тоже довольно подробный:
https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~roquette/hist_val.pdf
Но и там я не нашла подтверждения тезису, что сначала нормирования использовались там, где теперь мы бы использовали конечные поля.
Объяснение происхождения конечных полей как факторов колец целых очень помогло, спасибо!
Здравствуйте! Недавно на лекции мы ввели понятие модулярной формы, для этого нам понадобилось еще два определения – слабо модулярная функция и модулярная функция, а всё это нужно было для придания смысла g_2 и g_3 и определения инварианта J. Почитала Ахиезера (“Элементы теории эллиптических функций”), у него получилось обойтись без этим определений. Есть ли какое-нибудь еще применение у слабо модулярных функций и модулярных функций?
Спасибо за ссылку! Книга Н.И.Ахиезера действительно содержит очень внятное изложение основных понятий теории эллиптических функций. Книгу (и другие книги схожей тематики) можно найти здесь: https://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma/BSD/
Подход Серра более алгебраический в том смысле, что он рассматривает не только конкретные модулярные формы, а изучает структуру кольца, порождённого формами (какие там образующие, например). В таком контексте вполне естественно рассматривать частное двух модулярных форм. Частное, вообще говоря, может иметь полюса.
С формальной точки зрения, конечно, нет никакой необходимости говорить о “слабо модулярных функциях”, можно говорить об отношениях модулярных функций. Это примерно как древние греки говорили о пропорциях или отношениях целых чисел там, где мы сейчас сказали бы “рациональное число”. Это скорее вопрос терминологии. Однако само понятие отношения двух модулярных функций, конечно, важно и используется для сравнения различных модулярных форм между собой.