Краткое содержание лекций
22.03.2021 Снимок доски с лекции. Экспонента от матрицы. Линейная алгебра и решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
15.03.2021 Снимок доски с лекции. Определения: инварианты линейного оператора. Примеры: минимальный многочлен, характеристический многочлен, ЖНФ. Две матрицы являются матрицами одного и того же оператора тогда и только тогда, когда их ЖНФ совпадают.
01.03.2021 Снимок доски с лекции. Алгоритм поиска жорданова базиса в пространстве с нильпотентным оператором.
- В.А. Кириченко, Жорданова нормальная форма, записки лекций
22.02.2021 Снимок доски с лекции. Определения: жорданов базис, нильпотентный оператор. Жорданова нормальная форма нильпотентного оператора.
- Sh. Axler, Down with determinants!, American Mathematical Monthly 102 (1995), 139-154M.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 12, раздел 7)
- В.А. Кириченко, Жорданова нормальная форма, записки лекций
15.02.2021 Снимок доски с лекции. Определения: жорданов блок (жорданова клетка), жорданова нормальная форма (ЖНФ) оператора. Пространство с оператором раскладывается в прямую сумму корневых подпространств. Критерий диагонализуемости оператора в терминах его минимального многочлена.
- Sh. Axler, Down with determinants!, American Mathematical Monthly 102 (1995), 139-154M.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 12, раздел 7)
- В.А. Кириченко Жорданова нормальная форма, записки лекций (§2)
08.02.2021 Снимок доски с лекции. Определения: инвариантное подпространство оператора, прямая сумма подпространств, блочно-диагональные матрицы. Примеры: инвариантые подпространства вращения трёхмерного пространства и оператора сдвига (x_1, x_2, x_3) -> (x_2, x_3, 0). Корневые подпространства оператора. Линейная независимость собственных векторов с попарно различными собственными значениями. Достаточное условие диагонализуемости оператора в терминах его характеристического многочлена.
- Жорданова нормальная форма, раздел 2
01.02.2021 Снимок доски с лекции. Определения: минимальный многочлен матрицы и оператора. Примеры: минимальные многочлены 2 на 2, 3 на 3 и 4 на 4 матриц. Существование и единственность минимального многочлена. Собственные значения линейного оператора совпадают с корнями его минимального многочлена. Минимальный многочлен делит каждый аннулирующий многочлен оператора.
- Собственные векторы, числа и минимальный многочлен, раздел 3
- А.Н. Крылов, О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем
25.01.2021 Снимок доски с лекции. Определения: характеристический многочлен матрицы и оператора, аннулирующий многочлен матрицы и оператора. Примеры: характеристический многочлен 2 на 2 матрицы. Собственные значения линейного оператора совпадают с корнями его характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли (пока без доказательства). Метод Крылова поиска аннулирующего многочлена оператора. Вычисление функций от матрицы с помощью интерполяционной формулы Лагранжа.
- Собственные векторы, числа и минимальный многочлен, раздел 2
- А.Н. Крылов, О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем
18.01.2021 Снимок доски с лекции. Определения: пространство с оператором, собственные векторы и собственные значения. Примеры: PageRank вектор, числа Фибоначчи, недиагонализуемый оператор. Как меняется матрица линейного оператора при переходе к другому базису. В базисе из собственных векторов матрица оператора диагональна.
- Собственные векторы, числа и минимальный многочлен, раздел 1
- Алгоритм PageRank, первый алгоритм ранжирования страниц в поисковой системе Google
- Интерактивные демонстрации (собственные векторы и собственные числа)
- Записки лекций, раздел 1
11.01.2021 Снимок доски с лекции. Разбор избранных задач экзамена по геометрии и вопроса из экзамена по анализу (дифференцирование сложной функции от нескольких переменных).
30.11-07.12.2020 Определения: евклидова плоскость, расстояние между точками, длина вектора, скалярное произведение двух векторов, косинус угла между векторами, группа ортогональных преобразований. Примеры: школьная плоскость, изометрии (движения) плоскости. Симметричная билинейная форма однозначно определяется своими значениями на парах одинаковых векторов. Произведение матрицы движения на транспонированную равно единичной матрице.
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 5, разделы 3, 4)
- А.Л. Городенцев, Геометрия, лекция 3, записки лекций
23-27.11.2020 Определения: репер, аффинное подпространство, аффинное отображение. Примеры: репер на прямой, прямая, проходящая через две данные точки, параллельный перенос. Связь между репером в аффинном пространстве и базисом в векторном пространстве. Взаимосвязи аффинных и векторных подпространств, аффинных и линейных отображений.
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 7, разделы 1, 3)
- А.Л. Городенцев, Геометрия, лекция 2, записки лекций
16-20.11.2020 Определения: аффинные пространства, аффинная (барицентрическая) комбинация точек. Примеры: вещественная прямая и вещественная плоскость, геометрический смысл аффинных комбинаций двух точек на прямой (правило рычага), аффинная комбинация трёх точек на плоскости. Векторы как параллельные переносы. Центр тяжести системы точек с весами существует и единственен.
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 7, раздел 1)
- А.Л. Городенцев, Геометрия, лекция 1, записки лекций
9-13.11.2020 Определения: аксиоматическое определение определителя, кососимметрические полилинейные формы. Примеры: ориентированная площадь параллелограмма, ориентированный объём параллелепипеда, разложение определителя по строке. Существование и единственность кососимметрической полилинейной n-формы в n-мерном пространстве с данным значением на эталонном базисе. Мультипликативность определителя.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 1, раздел 4)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 2, раздел 4)
2-6.11.2020 Определения: определитель матрицы, перестановка, длина и знак перестановки, площадь параллелограмма, ориентация на плоскости. Примеры: определители 2 на 2 и 3 на 3 матриц. Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора-столбца, равна определителю матрицы, составленной из этих векторов. Роль определителей в алгебре, геометрии и анализе.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 1, раздел 4)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 2, раздел 4)
- Э. Эбботт. Флатландия. Д. Бюргер. Сферландия, “Амфора”, 2015
26-30.10.2020 Определения: поле, подполе, мультипликативная группа поля, векторное пространство над полем. Примеры: поля рациональных, вещественных и комплексных чисел, поле, полученное присоединением корня из двух, рациональная плоскость. Связь между целочисленными и вещественными решениями однородных систем линейных уравнений с рациональными коэффициентами.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 3, раздел 2)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 1, разделы 3-6)
- С. Дориченко, О коровах, линейной алгебре и многомерных пространства, Квант, №5-6 (2012), 11-16
12.10.2020 Определения: ранг матрицы, ядро и образ линейного отображения. Пример: матрицы ранга один. Строчный ранг матрицы равен столбцовому. Размерность ядра линейного отображения из n-мерного пространства плюс размерность образа равна n.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 4, раздел 1)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 2, раздел 3)
05.10.2020 Определения: система линейных уравнений в матричной форме, пространство решений. Пример: пересечение двух прямых на плоскости. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Количество переменных равно размерности пространства решений плюс размерность пространства правых частей, для которых система совместна.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 4, раздел 1)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 2, разделы 2 и 3)
28.09.2020 Определения: ступенчатая матрица, элементарные преобразования строк. Пример: решение системы из трёх линейных уравнений на три неизвестных. Метод Гаусса (Фан Чэн) приведения произвольной матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 1, раздел 2)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 2, раздел 1)
21.09.2020 Определения: порождающий набор векторов, линейно зависимый набор векторов, базис, размерность, координаты, конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Примеры: базис в координатном векторном пространстве, базис в пространстве многочленов. Каждые три вектора на плоскости линейно зависимы. Каждый вектор однозначно раскладывается по базису.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 3, разделы 3 и 7)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 2, раздел 3)
14.09.2020 Определения: линейные отображения векторных пространств, изоморфизм, подпространства. Примеры: линейные функции, линейные отображения координатных векторных пространств, движения плоскости и трёхмерного пространства. Линейное отображение координатного пространства однозначно задаётся образами стандартных базисных векторов.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 4, раздел 1)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 2, раздел 2)
07.09.2020 Определения: вещественные векторные пространства. Примеры: координатное векторное пространство (векторов-столбцов), пространство многочленов. Интерполяционная формула Лагранжа.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 2, раздел 1; глава 3, раздел 1)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 1, разделы 2, 7)
04.09.2020 Определения: матрицы, вектор-столбец, умножение матриц, линейное отображение на плоскости. Как выписать матрицу линейного отображения. При композиции отображений их матрицы перемножаются.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 1, раздел 1)
- Э.Б. Винберг, Курс алгебры, МЦНМО, 2019 (глава 1, раздел 9)
Примерная программа на 4-ый модуль
Определения: сигнатура квадратичной формы, положительный и отрицательный индексы инерции. Самосопряжённый оператор в евклидовом пространстве диагонализуется в ортонормальном базисе. Собственные значения самосопряжённого оператора вещественны. Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определённости квадратичной формы. Приложения в анализе (экстремумы функции нескольких переменных). Приложения самосопряжённых операторов в физике (бра и кет формализм).
- Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, том 3, Физико-математическая литература, 1988
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 7, разделы 2, 4-5)
- А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 1, §4, глава 3, §2)
- В.А. Зорич, Математический анализ. Часть 1. МЦНМО, 2012 (глава 7, §4)
Определения: квадратичные формы, квадрики, поляризация квадратичной формы, самосопряжённый оператор, связанный с квадратичной формой в евклидовом пространстве. Примеры: коники. Матрица квадратичной формы и матрица соответствующего ей самосопряжённого оператора совпадают в ортонормированном базисе. Квадратичная форма в евклидовом пространстве приводится к главным осям.
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 7, разделы 1-6)
- А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 1, §4; глава 3, §§1,3)
Определения: канонический вид и сигнатура квадратичной формы над вещественными числами, изометрии (движения) евклидова пространства. Примеры: повороты на плоскости и в трёхмерном пространстве. Изометрия является линейным преобразованием. Классификация квадратичных форм над вещественными числами. Метод Лагранжа приведения квдратичной формы к каноническому виду.
- Ю.А. Шашкин, Неподвижные точки, М., “Наука” 1989 г.
- Т.Е. Панов, Линейная алгебра и геометрия, записки лекций (глава 4)
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 8, разделы 1-4)
- А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 3, §3; глава 4, §3)
Определения: ортогональное дополнение к подпространству, билинейные и квадратичные формы, матрица Грама билинейной формы, поляризация квадратичной формы, положительная определённость. Примеры: стандартное скалярного произведения. Теорема Пифагора. Неравенство треугольника. Квадрат объёма параллелепипеда как определитель матрицы Грама. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.
- Т.Е. Панов, Линейная алгебра и геометрия, записки лекций (глава 3)
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 7, разделы 1-3)
- А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 3, §1; глава 4, §2)
Определения: скалярное произведение, евклидовы пространства, длины, углы, расстояния, ортонормированный базис. Примеры: школьная плоскость, физическое пространство. Определитель произведения матриц равен произведению определителей. Связь понятия репера и понятия базиса. Расстояние от точки до подпространства, угол между вектором и подпространством, расстояние между скрещивающимися подпространствами.
- Т.Е. Панов, Линейная алгебра и геометрия, записки лекций (глава 3)
- M. Artin, Algebra, Pearson, 2011 (глава 7, разделы 1-3)
- А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 3, §1; глава 4, §2)
Альтернативная программа 4-го модуля (проективная геометрия). Реализована в формате онлайн-курса Геометрия. Можно использовать для самообразования.
10.06.2019 Определения: пространство и метрика Минковского, конгруэнтные отрезки и углы в модели на гиперболоиде. Связь между движениями плоскости Лобачевского и преобразованиями Лоренца из специальной теории относительности. Пять моделей геометрии Лобачевского (на гиперболоиде, Клейна, на полусфере, Пуанкаре в диске и в верхней полуплоскости) и переходы между ними.
- J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon, W. R. Parry, Hyperbolic Geometry, chapter from Flavors of Geometry, ed. Silvio Levy, MSRI Publications vol.31, 1997 (§7)
- MinutePhysics, Lorentz Transformation, видеоролик
03.06.2019 Определения: прямые и точки, конгруэнтные отрезки и углы в модели Пуанкаре в круге и верхней полуплоскости. Физическая интерпретация модели Пуанкаре. Построение биссектрисы угла и восставление перпендикуляра в модели Клейна. Доказательство теоремы Брианшона через гиперболическую геометрию.
- В. Ф. Каган, Основания геометрии, 1949 (часть 1) / 1956 (часть 2)
- C.Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках. М., МЦНМО, 2006; глава Волшебный мир Анри Пуанкаре
27.05.2019 Определения: прямые и точки, конгруэнтные отрезки и углы, расстояние в модели Клейна. Аддитивность дефекта треугольника. Если хотя бы один треугольник на плоскости имеет нулевой дефект, то и все треугольники имеют нулевой дефект. Связь между группой движений плоскости Лобачевского и проективными преобразованиями проективной плоскости.
- В. Ф. Каган, Основания геометрии, 1949 (часть 1) / 1956 (часть 2)
- Ф. Клейн, О так называемой неевклидовой геометрии. В сборнике: Основания геометрии, М., ГИТТЛ, 1956.
20.05.2019 Определения: проективизация множества нулей однородного многочлена и проективное замыкание множества нулей неоднородного многочлена, рациональная параметризация коники. Примеры: проективизация конуса в R^3, проективное замыкание аффинной гиперболы, рациональная параметризация окружности. Связь с универсальной тригонометрической подстановкой и пифагоровыми тройками.
- М.Рид, Алгебраическая геометрия для всех, Мир, 1991 (глава 1, §1)
- А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 4, записки лекций, весна 2019 (§4.3.2)
13.05.2019 Определения: окружности большого круга на сфере, равные сферические треугольники, дефект треугольника, угол параллельности. Площадь сферического треугольника пропорциональна его дефекту. Пятый постулат Евклида и эквивалентные ему утверждения (аксиомы Прокла-Плейфера, Валлиса, Лежандра и Льюиса Кэролла). Аксиома Лобачевского и гиперболическая геометрия. Модель Кэли-Клейна гиперболической геометрии.
- В. Ф. Каган, Основания геометрии, 1949 (часть 1) / 1956 (часть 2)
- Н.И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий, М.-Л., изд-во Академии Наук СССР, 1945
- Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 2. Геометрия. М.: Наука, 1987
- Васильев Н., Гутенмахер В. Сумма углов сферического многоугольника // «Квант», № 2, 1988
- Э. Эбботт. Флатландия. Д. Бюргер. Сферландия, любое издание
29.04.2019 Определения: инверсия относительно окружности на евклидовой плоскости, арбелос Архимеда. Связь инверсии и дробно-линейных преобразований комплексной прямой. Два взгляда на “школьную плоскость” как на аффинную карту (1) вещественной проективной плоскости и (2) комплексной проективной прямой. Полезные инструменты: (1) – проективные преобразования, двойное отношение, полярная двойственность, (2) – инверсии. Теорема о бабочке через проективные преобразования. Задача Паппа об арбелосе через инверсию.
- И.Д.Жижилкин, Инверсия, МЦНМО, 2009
- А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 6, записки лекций, весна 2019
22.04.2019 Определения: проективная двойственность, полярная двойственность относительно коники, полюс и поляра. Примеры: полярное преобразование плоскости относительно окружности, задача Штейнера о пяти кониках. Теоремы Паскаля и Брианшона как двойственные утверждения.
- Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936 (глава 3)
- А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 4, записки лекций, весна 2019
- А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 5, записки лекций, весна 2019
15.04.2019 Определения: проективные преобразования, дробно-линейные преобразование, двойное отношение, полный четырёхсторонник. Примеры: дробно-линейные преобразования прямой, инварианты четвёрки прямых на векторной плоскости. Проективное преобразование n-мерного проективного пространства определяется образами n+2 точек, никакие n+1 из которых не лежат в одной гиперплоскости. Теорема Мёбиуса-фон Штаудта (без доказательства).
- А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 5, §3; глава 7, §6)
- А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 5, записки лекций, весна 2019
08.04.2019 Определения: проективизация векторного пространства, проективные пространства и подпространства, однородные координаты, аффинные карты, аксиомы абстрактной проективной плоскости. Примеры: законы перспективы, вещественная и комплексная проективная прямая, проективная плоскость, игра Доббль, задача Эйлера о 36-ти офицерах. Две различные прямые на проективной плоскости всегда пересекаются в одной точке. Теорема Паппа.
- А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 5, §3; глава 7, §6)
- А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 4, записки лекций, весна 2019
- ShinyMath Семь прямых или настольная геометрия, видеоролик