Геометрия

Здесь выложены ссылки на лекции, задачи для семинаров и дополнительные материалы к онлайн-курсу по проективной геометрии. Авторы курса – Борис Бычков и Валентина Кириченко. Полная версия курса (включающая также онлайн-тесты) размещена на платформе online.hse.ru.

Плейлист с лекциями

Снимки доски с лекций

Снимки доски с семинаров

Неделя 7 Лекция (7 фрагментов)

1. Аксиомы инцидентности по Гильберту
2. Аксиомы порядка по Гильберту
3. Аксиомы конгруэнтности по Гильберту
4. Аксиомы непрерывности
5. Сферическая геометрия
6. Как Эратосфен измерил Землю

Что порешать: Семинар 9 – сюрпризы геометрии Лобачевского, Семинар 10 – абсолютная геометрия

Неделя 6 Лекция (7 фрагментов)

1. Аксиоматика Евклида, “Начала”
2. Аксиоматика Гильберта, обзор
3. Геометрия Лобачевского
4. Модель Клейна геометрии Лобачевского
5. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского
6. Связь между моделью Клейна и моделью Пуанкаре
7. “Теорема”, что все треугольники равнобедренные

Что почитать:

• Robin Hartshorne, Teaching Geometry According to Euclid, Notices of the AMS, April 2000, vol. 7, no.4, 460-465
• Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Science & Business Media, 2005 (можно одолжить в электронном виде у лектора)
• В. Ф. Каган, Основания геометрии,  1949 (часть 1) / 1956 (часть 2) (в бумажном виде библиографическая редкость, но можно найти в Интернете в отсканированном виде)
• Н.И.Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий, М.-Л., изд-во Академии Наук СССР, 1945

Что порешать: Семинар 8 – модель Клейна

Неделя 5 Лекция (6 фрагментов)

1. Проективная геометрия в жизни 1
2. Проективная геометрия в жизни 2
3. Гиперболический поворот колеса
4. Теорема о бабочке
5. Арбелос Архимеда и инверсия
6. Гиперболоид и теорема Брианшона

Что порешать: Семинар 6 – квадрики, Семинар 7 – преобразования Мёбиуса

Неделя 4 Лекция (6 фрагментов) и дополнительные материалы (1 фрагмент)

1. Полюса и поляры
2. Проективные преобразования, сохраняющие окружность
3. Теорема Паскаля
4. Теорема Паппа как частный случай теоремы Паскаля
5. Полярная двойственность
6. Полярная двойственность с точки зрения линейной алгебры

• Геометрия для архитектуры, видеоролик ShinyMath

Что почитать:

• А.Л.Городенцев, Проективная геометрия (квадрики), записки лекций
• Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936
• В.В.Прасолов, Задачи по планиметрии, решение задачи 30.16

Что порешать: Семинар 5 – проективная двойственность, Листок 1

Неделя 3 Лекция (6 фрагментов) и дополнительные материалы (1 фрагмент)

1. Проективные квадрики и коники
2. Проективная плоскость и стереометрия
3. Вещественные проективные коники
4. Перспектива
5. Комплексные проективные коники
6. Теорема Паппа в линейной алгебре

• Почему геометрии бывают разные и зачем они нужны, научно-популярная лекция

Что почитать:

• А.Л.Городенцев, Проективная геометрия (квадрики), записки лекций
• Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936

Что порешать: Семинар 4 – коники

Неделя 2 Лекция (4 фрагмента) и дополнительные материалы (4 фрагмента)

1. Проективные подпространства
2. Проекции
3. Какие наборы точек можно перевести друг в друга проективным преобразованием
4. Двойное отношение в линейной алгебре

• Вещественная проективная плоскость минус диск равно ленте Мёбиуса (анимация)
• Поверхность Боя (анимация)
• Плоскость Фано и проективная плоскость над полем вычетов по модулю три, видеолекция
• Конечные проективные плоскости, демонстрация

Что почитать:

• А.Л.Городенцев, Проективная геометрия (проективные преобразования), записки лекций
• Х. С. М. Кокстер, Действительная проективная плоскость, Физ.-мат. лит., 1959

Что порешать: Семинар 2 – проективные плоскости; Семинар 3 – гармонические четвёрки

Неделя 1 Лекция (6 фрагментов) и дополнительные материалы (4 фрагмента)

1. Определение проективного пространства
2. Геометрический смысл проективного пространства
3. Определение проективного преобразования
4. Аффинная карта и прямые на проективной плоскости
5. Дробно-линейные преобразования и двойное отношение
6. Теорема Паппа

• Семь прямых или настольная геометрия (видеоролик ShinyMath)
• Игра Доббль и плоскость Фано (фрагмент онлайн курса Основания алгебры и геометрии)
• Аксиоматика проективной плоскости (фрагмент онлайн курса Основания алгебры и геометрии)
• Проективная плоскость, перспектива и Доббль (фрагмент онлайн курса Основания алгебры и геометрии)

Что почитать:

• А.Л.Городенцев, Проективная геометрия (проективные пространства), записки лекций
• Х. С. М. Кокстер, Действительная проективная плоскость, Физ.-мат. лит., 1959

Что порешать: Семинар 1 – проекции