Functional Analysis and Noncommutative Geometry Seminar

Organizer: Alexei Yu. Pirkovskii

The students who participate in the seminar give talks on functional analytic aspects of noncommutative geometry. Talks devoted to noncommutative algebraic geometry and to «pure» functional analysis (preferably with an algebraic or geometric flavour) are also welcome. The topics of talks are usually taken from the literature, but sometimes the participants present their own results. Occasionally, talks are given by the seminar’s orgainizer or by an invited speaker.

The seminar takes place on Wednesdays, 16:20-17:40, Faculty of Mathematics, HSE (Usacheva 6), room 108.

If you wish to give a talk, please send you suggestions to the organizer (pirkosha at gmail dot com).

Videos of selected talks  (partly in Russian)

10.04.2024

Владислав Балакирев
Категорное описание гильбертовых пространств

Аннотация. В докладе будут определены категории, удовлетворяющие некоторому разумному набору аксиом, и будет показано (дан набросок доказательства), что такие категории эквивалентны категории гильбертовых пространств и линейных ограниченных отображений. Все определения, относящиеся к теории категорий и выходящие за рамки любого базового курса, будут напоминаться по ходу дела.

Доклад основан на статье Chris Heunen, Andre Kornell «Axioms for the category of Hilbert spaces» (arXiv:2109.07418v3).

03.04.2024

Мария Дмитриева
Базисы Грёбнера

Аннотация. В рамках доклада мы поговорим об идеалах в алгебре некоммутативных многочленов и о технике, позволяющей вычислять их ряд Гильберта. Будут даны основные определения, а также сформулирована и доказана лемма о композиции. Наконец, мы обсудим, как это может пригодиться человеку, занимающемуся функциональным анализом.

20.03.2024

Дмитрий Черненко
Алгебры вращения (часть 2)

13.03.2024

Дмитрий Черненко
Алгебры вращения

Аннотация. Алгебра вращения, или некоммутативный двумерный тор — один из базовых примеров в теории C*-алгебр и в основанной на ней некоммутативной топологии. Определяется она как универсальная C*-алгебра с двумя унитарными образующими u, v, связанными соотношением uv=qvu, где q — фиксированное комплексное число, равное по модулю единице. При q=1 эта алгебра изоморфна алгебре непрерывных функций на торе.

В докладе будет рассмотрена явная конструкция алгебры вращения, построены след и условное ожидание на ней. Также мы обсудим проекторы в алгебре вращения и её связь с дискретной группой Гейзенберга.

06.03.2024

Матвей Юшкин
Борнологические векторные пространства и их преимущества перед топологическими векторными пространствами (часть 3)

28.02.2024

О. Ю. Аристов   (Harbin Institute of Technology)
Рефлективные подкатегории топологических алгебр

Аннотация. Мы обсудим оболочку Аренса-Майкла топологических алгебр и аналогичные конструкции с точки зрения теории рефлективных подкатегорий.

21.02.2024

Матвей Юшкин
Борнологические векторные пространства и их преимущества перед топологическими векторными пространствами (часть 2)

14.02.2024

Матвей Юшкин
Борнологические векторные пространства и их преимущества перед топологическими векторными пространствами

Аннотация. В докладе будут рассмотрены базовые понятия и конструкции в теории борнологических пространств. Борнологическая теория в свою очередь широко используется в гомологической алгебре и в принципе является важным ответвлением функционального анализа. Основное преимущество категории борнологических пространств — это то, что она является замкнутой симметрической моноидальной категорией.

07.02.2024

Александр Калмынин
Пространства де Бранжа и гипотеза Пойя-Гильберта

Аннотация. Данный доклад является продолжением серии моих докладов из прошлого семестра, связывающих гипотезу Римана с некоторыми проблемами функционального анализа. В начале 20 века Д. Пойя ответил на вопрос о возможных физических причинах истинности гипотезы Римана, сформулировав гипотезу Пойя-Гильберта, которая состоит в том, что нетривиальные нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям некоторого естественного оператора на гильбертовом пространстве. Ранее мы обсуждали возможные подходы к построению такого оператора, связанные с полем из одного элемента и формулой следа Сельберга. Мы поговорим о несколько другом взгляде на данный вопрос, использующем гильбертовы пространства целых функций, построенные Л. де Бранжем.

31.01.2024

Алексей Пирковский
Теорема Шварца о ядре и ядерные пространства

Аннотация. Теорема о ядре, доказанная Л. Шварцем в 1950 г., является одним из центральных результатов теории обобщенных функций. Она играет ключевую роль во многих вопросах теории дифференциальных операторов с частными производными; Ж. Дьедонне считал даже, что она «является, возможно, наиболее важной теоремой современного линейного функционального анализа». Неформальный смысл этой теоремы заключается в том, что любой линейный оператор между функциональными пространствами, удовлетворяющими минимальным необременительным условиям, является в некотором смысле интегральным — с той лишь поправкой, что его «ядро», т.е. функция, которой он определяется, является не обычной функцией, а обобщенной.

Цель доклада — разобрать одно из многочисленных доказательств теоремы о ядре, которое, вероятно, является самым коротким, хотя и заведомо не самым элементарным. Это доказательство опирается на теорию ядерных локально выпуклых пространств, которую создал А. Гротендик в начале 1950-х гг., будучи вдохновлен в первую очередь теоремой о ядре (отсюда и термин «ядерное пространство»). Предварительных знаний о ядерных пространствах от слушателей не требуется, все необходимые сведения будут сообщены по ходу дела (собственно, именно этому будет посвящена большая часть доклада). Но все же желательно некоторое первоначальное знакомство с топологическими векторными пространствами — например, в объеме стандартного курса функционального анализа.

24.01.2024

Михаил Муравьев
Некоторые неравенства на решения задачи Стеклова для двумерных областей

Аннотация. Задача Стеклова — важная задача из числа задач по поиску гармонических функций с определенным граничным условием. В ходе доклада будет сформулирована сама задача, рассмотрен вариационный подход к решению данной задачи, а также доказаны некоторые неравенства на решения задачи Стеклова.

17.01.2024

Дмитрий Демьяненко
Теория кратности для нормальных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

Аннотация. Доклад посвящен обсуждению теории кратности в применении к операторам в сепарабельных гильбертовых пространствах. Хорошо известно, что конечномерный случай над полем комплексных чисел допускает полную классификацию нормальных операторов, предоставляя удобную систему инвариантов унитарной эквивалентности. Бесконечномерный случай подобной роскошью похвастаться не в состоянии: существуют различные вариации спектральной теоремы, дающие в том или ином виде решение классификационной задачи для нормальных операторов в гильбертовых пространствах, однако наиболее удобной версией является та, которая получается как раз с применением теории кратности. Именно этим вопросам и будет посвящено выступление.

13.12.2023

Михаил Дронев
Продольная теорема об индексе для слоений

Аннотация. Данный доклад будет посвящён одному результату Конна и Скандалиса, обобщающему теорему Атьи-Зингера об индексе семейства эллиптических операторов на компактном многообразии. В последнем семейство операторов параметризуется (другим) компактным многообразием, и утверждается равенство аналитического и топологического индексов, лежащих в K-группе параметризующего многообразия. В рассказываемом результате рассматривается компактное многообразие со слоением на нём (и оператор, эллиптический вдоль листов слоения) и тоже утверждается равенство индексов. Но вообще топология факторпространства листов слоения плоха, поэтому индексы следует брать не в K-теории факторпространства (по аналогии с обобщаемой теоремой), а в (более утончённой) K-теории некоторой C*-алгебры (по многообразию со слоением); отсюда (и в построениях самих индексов) — мотивация рассматривать K-теории (и их аналоги) C*-алгебр в этом контексте. Будут рассказаны конструкция индексов и основные моменты доказательства их равенства.

29.11.2023

Анна Котова
Голоморфное и гладкое функциональные исчисления в банаховых алгебрах

Аннотация. В этом докладе мы рассмотрим функциональные исчисления от элементов банаховой алгебры, в частности, голоморфное и гладкое. Опишем построение голоморфного исчисления от произвольного элемента банаховой алгебры, а также два частных случая для гладкого исчисления: на единичной окружности и действительной прямой.

22.11.2023

Вадим Горбатов
Строение супермногообразий

Аннотация. Теорема, о которой пойдет речь в докладе, была независимо доказана несколькими авторами (в близких, хотя и не идентичных формулировках) во второй половине 1970-х гг. Она утверждает, что структурный пучок любого гладкого супермногообразия изоморфен пучку сечений расслоения алгебр Грассмана, построенного исходя из векторного расслоения над многообразием. Данная теорема упрощает язык, на котором можно говорить об алгебрах функций на супермногообразиях.

Я напомню определения основных объектов, необходимых для формулировки и доказательства упомянутой теоремы, а также изложу само доказательство (настолько подробно, насколько позволит время).

15.11.2023

Мария Дмитриева
Строгое деформационное квантование алгебры голоморфных функций

Аннотация. Одним из основных методов квантовой механики является построение по алгебре A гладких функций на многообразии M её деформации — некоммутативной алгебры A_h, зависящей от параметра h. Эта деформация должна хорошо зависеть от h и быть согласованной с пуассоновой структурой на M. Однако формализовать понятия «хорошо зависеть» и «быть согласованной» можно по-разному. Классической формализацией является понятие формального деформационного квантования: построение алгебры над кольцом формальных степенных рядов ℂ[[h]]. К сожалению, у этого подхода есть существенный недостаток: при подстановке в качества h константы Планка ряды могут расходиться. Зато формальное деформационное квантование хорошо изучено, есть теоремы о существовании и классификации.

Определение, свободное от этого недостатка, предложил Марк Риффел. Строгое деформационное квантование алгебры гладких функций он определил как семейство C*-алгебр A_h, параметризованных параметром h и удовлетворяющее некоторым условиям непрерывности и согласованности с пуассоновой структурой. В отличие от формального деформационного квантования, про строгое сравнительно мало что известно. В частности, для строгого деформационного квантования нет общих теорем о существовании и классификации. С другой стороны, имеются многочисленные конкретные примеры строгого деформационного квантования, а также содержательные приложения в квантовой физике.

Помимо строгого деформационного квантования C*-алгебр, можно рассматривать родственные ему объекты. В частности, можно дать аналогичные определения в контексте несамосопряжённых операторных или локально выпуклых алгебр. Последнее будет лучше подходить для формализации понятия деформации алгебры голоморфных функций.

В докладе мы обсудим определение строгого деформационного квантования и его «голоморфный аналог». Поговорим о том, как можно построить деформационное квантование алгебры 𝒪(B_d) голоморфных функций на открытом единичном шаре и заодно вспомним основные свойства базиса Грёбнера.

08.11.2023

Н. Т. Немеш
Проблема инвариантных подпространств. Обзор результатов

Аннотация. Этим летом Пер Энфло опубликовал на сайте arxiv.org 13-страничную статью, которая утверждает, что всякий ограниченный линейный оператор в комплексном гильбертовом пространстве обладает собственным замкнутым инвариантным подпространством. Другими словами, Энфло утверждает, что решил проблему инвариантных подпространств для гильбертова случая. На этом докладе мы обсудим историю этой проблемы с начала XX века до наших дней.

01.11.2023

Пётр Кучерявый
Распределение простых чисел и тауберовы теоремы. Теорема Бёрлинга об аппроксимации

Аннотация. Пусть у нас есть правило, которое по функции f строит другую функцию F (например, по последовательности мы строим производящую функцию). Тауберовыми теоремами, как правило, называют теоремы, которые по аналитическим свойствам функции F сообщают что-то о свойствах исходной функции f.
Мотивацией для нас будет служить теорема о распределении простых чисел. Мы обсудим подход Чебышева к оценке количества простых, не превосходящих x. И затем докажем тауберову теорему Ингама, которая фактически доводит подход Чебышева до доказательства теоремы о распределении простых чисел.
Для доказательства теоремы Ингама нам понадобится тауберова теорема Винера. Она говорит, что линейная оболочка сдвигов функции f из L¹ плотна в L¹ тогда и только тогда, когда преобразование Фурье функции f не имеет нулей.
Во второй части доклада докажем обобщение теоремы Винера — теорему Бёрлинга об аппроксимации, которая говорит, что теорема Винера верна для взвешенных L¹-пространств (алгебр Бёрлинга) при некотором условии на вес.

18.10.2023

Александр Калмынин
Факторы аделей и гипотеза Римана

Аннотация. В моем предыдущем докладе мы обсудили несколько различных подходов к доказательству гипотезы Римана, так или иначе связанных с некоммутативной геометрией. Один из подходов состоял в том, чтобы рассматривать дзета-функции Хассе-Вейля многообразий над конечным полем F_q и каким-нибудь способом рассматривать их предел при q→1, тем самым переходя к «полю из одного элемента». Здесь, однако, возникает проблема, связанная с тем, что эйлерова характеристика многообразия X, для которого мы в пределе должны получить дзета-функцию Римана, должна быть равна -∞. Мы обсудим результаты Конна и Консани, которые позволяют обойти эту проблему при помощи логарифмических производных. Роль многообразия X будет играть некоторый двойной фактор аделей поля рациональных чисел.

11.10.2023

Алексей Пирковский
Алгебры свободных голоморфных функций и ряд Тейлора-Тейлора

Аннотация. Я продолжу рассказ о свободных голоморфных функциях, начатый 20 сентября. В этот раз мы более подробно обсудим формулу и ряд Тейлора-Тейлора для свободных голоморфных функций (в прошлый раз этот материал был несколько скомкан из-за недостатка времени), а также рассмотрим некоторые алгебры, состоящие из свободных голоморфных функций, и сформулируем несколько связанных с ними проблем. Доклад не будет существенно опираться на его первую часть — все необходимые для понимания определения и результаты я напомню.

04.10.2023

Александр Тертерян
Свободные объекты в теории банаховых пространств

Аннотация. Как известно, свободные объекты играют важнейшую роль в топологии и абстрактной алгебре. Я же расскажу про некоторые свободные объекты, связанные с банаховыми пространствами. Будет подробно рассмотрена принадлежащая J. Mujica конструкция свободно-голоморфного банахова пространства над областью в комплексном банаховом пространстве. Далее будут изложены несколько результатов того же автора, связанных с этой конструкцией. В частности, будет дан критерий компактности оператора, отвечающего голоморфному отображению, в терминах образа этого отображения. Также я упомяну несколько открытых вопросов в этой области, если останется время.

27.09.2023

Борис Билич
Сдвиги конечного типа и C*-алгебры

Аннотация. Каждому направленному графу можно сопоставить динамическую систему с дискретным временем, состоящую из двусторонне-бесконечных путей, на которых отображение эволюции задаётся сдвигом. Такая динамическая система называется сдвигом конечного типа и является центральным объектом изучения символической динамики.

Одним из главных открытых вопросов в этой области является классификация сдвигов конечного типа с точностью до изоморфизма. Эта проблема связана с классификацией C*-алгебр: оказывается, что графы, дающие изоморфные сдвиги, имеют стабильно изоморфные C*-алгебры. Более того, если снабдить C*-алгебры графов двумя дополнительными структурами: коммутативной диагональной подалгеброй и калибровочным действием окружности, то мы получим полный инвариант сдвига! Я подробнее расскажу про эти конструкции и объясню, как эта точка зрения может помочь разрешить проблему классификации.

20.09.2023

Алексей Пирковский
Введение в свободный комплексный анализ

Аннотация. Цель доклада — познакомить слушателей с основными понятиями и результатами теории голоморфных функций нескольких некоммутирующих (а точнее, свободных) переменных. Эта теория была создана в течение последних полутора десятилетий в работах Винникова, Калюжного-Вербовецкого, Аглера, Маккарти и ряда других математиков, однако ее наиболее фундаментальные конструкции восходят к деятельности Дж. Тейлора 1970-х гг. Среди прочего, в докладе будет обсуждаться явление автоматической аналитичности некоммутативных функций и разложение в ряды Тейлора-Тейлора (в частности, в свободные степенные ряды). В конце, если позволит время, будут сформулированы некоторые задачи о возможных связях между объектами свободного и квантового комплексного анализа.

13.09.2023

Александр Калмынин
Гипотеза Римана и некоммутативная геометрия

Аннотация. Гипотеза Римана и её обобщения играют важнейшую роль в теории чисел и особенно в вопросах, связанных с распределением простых чисел. Спустя 164 года после её первой формулировки имеется большое количество подходов к доказательству, связанных с самыми разными областями математики, от комплексного анализа до алгебраической геометрии. В данном докладе мы обсудим идеи А. Конна и К. Консани, связывающие гипотезу Римана и некоммутативную геометрию. Мы обсудим явные формулы, преобразующие суммы по нулям дзета-функции Римана во взвешенные суммы по простым числам, а также формулы следа и аналогию между ними и подходом Конна-Консани.

09.06.2023

Пётр Косенко
Homological dimensions of holomorphic and smooth crossed products

Abstract. My research is related to the following natural question: how to do homological algebra for topological modules and topological algebras? The most intuitive way to do this would be as follows: for topological vector (Fréchet, Banach) modules A, B, C we consider the sequences

0 → A → B → C → 0

which are exact in the usual sense and with all arrows being continuous, «exact» in the respective topological category. But it becomes quickly evident that the respective exact structure carries too much topological information. For example, in this case we cannot even guarantee that modules over the base field are projective!

Helemskii (1970) and Taylor (1972) were among the first to realize that we need an additional condition: all morphisms in such sequences must split in the respective topological category. Then we get a theory which roughly resembles the purely algebraic one, where we can define projectivity, flatness, injectivity, derived functors, and so on.

My thesis consists of three parts: in the first part we treat Arens-Michael envelopes of Laurent tensor algebras, generalizing A. Pirkovskii’s approach to (ordinary) tensor algebras. We obtain explicit descriptions of the Arens-Michael envelopes of some concrete finitely generated algebras using our method, proving admissibility of certain relations in Banach algebras. In the second part we derive estimates for homological dimensions for topological Ore extensions, smooth crossed products with Z, via adapting the Cuntz-Quillen construction of relative 1-differentials to the topological setting. In the third part we adapt the above approach to the non-unital case, by constructing certain exact sequences featuring smooth crossed products with T and R, which allow us to derive estimates for projective dimensions for smooth crossed products with T and R. If time permits, we will discuss the possible further directions.

30.05.2023

Александр Молокоедов
Решение задач спектральной геометрии на кольцеподобных областях

Аннотация. Доклад будет посвящен решению задач спектральной геометрии по поиску собственных чисел оператора Лапласа с различными граничными условиями на кольцах и оценкам на собственные числа кольцеподобных областей.

23.05.2023

Пётр Кучерявый
Вокруг диссертации Тэйта

Аннотация. Дзета-функция Римана, L-функция Дирихле и дзета-функция Дедекинда удовлетворяют своим функциональным уравнениям. Все они являются частными случаями L-функции Гекке, которая строится по непрерывному характеру на идельной группе классов. Функциональное уравнение для L-функции Гекке было получено самим Эрихом Гекке. Более простое доказательство, которое использует гармонический анализ на кольце аделей (в частности, формулу суммирования Пуассона), получил Джон Тэйт в своей диссертации 1950 года. Мы обсудим в общих чертах это доказательство. В начале доклада будут сформулированы определения аделей и иделей, а также их основные свойства.

16.05.2023

Алексей Диваков
Естественное построение энтропии Шеннона в эквивалентной аксиоматике

Аннотация. Энтропия — это функция, которая измеряет степень неопределённости результата эксперимента, поставленного с помощью фиксированного вероятностного распределения на конечном множестве. Оказывается, что если наложить некоторые условия, то такая функция единственна. Мы докажем это, используя простейшую арифметику.

25.04.2023

Михаил Муравьев
Свойства собственных чисел оператора Лапласа вложенных евклидовых подобластей

Аннотация. У спектра оператора Лапласа с граничным условием Дирихле существует классическое свойство: при сужении области из условия Дирихле, каждое собственное значение не убывает (если из мембраны барабана вырезать мембрану поменьше, то полученный барабан будет звучать выше). Однако данное свойство не выполняется для граничных условий Неймана и Робена. В своем докладе я приведу и докажу обобщение этого свойства для граничных условий Неймана и Робена.

18.04.2023

Александр Тертерян
Слабо* замкнутые идеалы в алгебре мер и асимптотические свойства унитарных представлений групп
(часть 2)

11.04.2023

Александр Тертерян
Слабо* замкнутые идеалы в алгебре мер и асимптотические свойства унитарных представлений групп

Аннотация. В докладе я расскажу о нескольких новых результатах Джареда Уайта, связывающих идеалы в алгебре мер M(G) на локально компактной группе G с унитарными представлениями G, а также с идеалами в L¹(G). В частности, для случая, когда G — эрмитова группа, унитарные представления которой удовлетворяют некоторому асимптотическому условию, будет приведена теорема, дающая полную классификацию слабо* замкнутых максимальных левых идеалов в M(G) в терминах неприводимых унитарных представлений G и замкнутых идеалов в L¹(G).

04.04.2023

Денис Винокуров
Метод комплексной интерполяции

Аннотация. Для любой согласованной пары банаховых пространств можно определить семейство так называемых промежуточных пространств, функториальность которых позволяет с легкостью делать утверждения о непрерывности некоторых операторов, которая, на первый взгляд, далеко не очевидна. Чтобы в этом убедиться, мы рассмотрим применение этого метода в теории L^p-пространств и пространств Соболева, что впоследствие с лёгкостью позволит нам перенести теорию соболевских пространств (с произвольным вещественным индексом) на компактные многообразия.

28.03.2023

Владислав Балакирев
Гомологические размерности скрещенных произведений: обзор

Аннотация. Скрещенное произведение в алгебре — это просто естественное обобщение понятия группового кольца. В функциональном анализе оно возникает, разумеется, в виде обобщения операции свертки. Доклад будет посвящен обзору результатов, связанных с оценками глобальных размерностей скрещенных произведений для (нетеровых) колец (алгебраический случай), L¹-алгебр (случай банаховых алгебр) и алгебр гладких функций на группе (локально выпуклый случай).

21.03.2023

Игорь Фёдоров
Теорема Стоуна об однопараметрических подгруппах

Аннотация. Теорема Cтоуна утверждает, что непрерывные представления группы вещественных чисел унитарными операторами гильбертова пространства H взаимно однозначно соответствуют самосопряжённым операторам на H, вообще говоря, неограниченным. Я собираюсь рассказать про неограниченные операторы, сформулировать спектральную теорему (для сепарабельных гильбертовых пространств) и вывести из неё теорему Стоуна.

14.03.2023

Алексей Пирковский
Неформальное деформационное квантование. Часть 3. Линейные пуассоновы структуры
(в основном по Ш. Вальдману)

Аннотация. Это третья часть рассказа о неформальном деформационном квантовании (первая часть была 24 января, вторая — 7 февраля). Как водится, все необходимые определения я напомню, и доклад не будет существенно опираться на его первые две серии. На этот раз речь пойдет о неформальном деформационном квантовании линейных пуассоновых структур на векторных пространствах. Мы напомним классическое соответствие между линейными пуассоновыми структурами и алгебрами Ли, обсудим несколько подходов к формальному деформационному квантованию линейной пуассоновой структуры (⋆-произведение S. Gutt), определим некоторые топологические алгебры голоморфных функций с ограничениями роста на бесконечности и сформулируем результаты Ш. Вальдмана о сходимости ⋆-произведения для таких алгебр. Если позволит время, мы также попытаемся разобраться на одном примере, насколько эта техника применима к квадратичным пуассоновым структурам, и обсудим альтернативный подход к неформальному деформационному квантованию (грубо говоря, промежуточный между подходами Вальдмана и Риффела), в некотором смысле позволяющий квантовать алгебру всех голоморфных функций (а не только некоторые ее собственные подалгебры, как у Вальдмана).

21.02.2023

Мария Дмитриева
Строгое деформационное квантование

Аннотация. В докладе речь пойдёт о строгом деформационном квантовании гладких многообразий с пуассоновой структурой. Будет дано определение и приведены примеры, как такое квантование можно построить, основным инструментом будет преобразование Фурье. Особенно подробно мы остановимся на квантовании Вейля. Мы будем следовать работам М. Риффела.

07.02.2023

Алексей Пирковский
Неформальное деформационное квантование, часть 2 (в основном по Ш. Вальдману)

Аннотация. Это продолжение доклада от 24 января, на котором мы успели только вспомнить математический аппарат, используемый в классической и квантовой механике, вкратце обсудить, что следует понимать под словом «квантование» (в максимально широком и поэтому не вполне строгом смысле), и построить квантование Вейля (пока лишь для многочленов) в простейшем случае двумерного фазового пространства. В этот раз мы начнем с обсуждения классического понятия деформационного квантования, а потом перейдем к результатам Ш. Вальдмана и других авторов о неформальном деформационном квантовании.

Под неформальным деформационным квантованием обычно понимают определенную модификацию классического (формального) деформационного квантования, в результате которой деформированное произведение (star product) двух функций на фазовом пространстве становится не формальным степенным рядом от переменной h (постоянной Планка), а «настоящей» функцией, определенной в том числе и при ненулевых значениях параметра h. Существует несколько подходов к неформальному деформационному квантованию, отличающихся друг от друга интерпретацией деформированного произведения и используемым для этого математическим аппаратом. В подходе Вальдмана, о котором пойдет речь в докладе, основное внимание уделяется вопросу сходимости формального деформированного произведения для достаточно широкого запаса функций на фазовом пространстве. Важную роль в этом подходе играют возникающие по ходу дела локально выпуклые топологические алгебры, интересные и сами по себе. Какой-либо общей теории, которая, в частности, устанавливала бы существование неформального деформационного квантования в достаточно общем случае, на данный момент пока не существует. Тем не менее, есть достаточно богатый запас конкретных примеров, некоторые из которых мы и разберем, сосредоточившись в основном на случае постоянных пуассоновых структур на векторном пространстве.

31.01.2023

Александр Калмынин
C*-нормы на тензорных произведениях и графы Рамануджана

Аннотация. Хорошо известно, что всякая C*-алгебра обладает единственной C*-нормой. Естественно спросить: когда тензорное произведение C*-алгебр также обладает единственной C*-нормой и как выглядит ситуация, когда такая норма не единственна? Мы обсудим несколько интересных примеров и контрпримеров. Оказывается, тензорный квадрат алгебры ограниченных операторов на гильбертовом пространстве обладает различными C*-нормами, а для сравнения этих норм на тензорах ограниченного ранга можно использовать графы Рамануджана — некоторое семейство регулярных графов, обладающее очень специальными свойствами.

24.01.2023

Алексей Пирковский
Неформальное деформационное квантование (в основном по Ш. Вальдману)

Аннотация. Под неформальным деформационным квантованием обычно понимают определенную модификацию классического (формального) деформационного квантования, в результате которой деформированное произведение (star product) двух функций на фазовом пространстве становится не формальным степенным рядом от переменной h (постоянной Планка), а «настоящей» функцией, определенной в том числе и при ненулевых значениях параметра h. Существует несколько подходов к неформальному деформационному квантованию, отличающихся друг от друга интерпретацией деформированного произведения и используемым для этого математическим аппаратом. Мы обсудим подход, развиваемый Ш. Вальдманом и другими математиками, при котором основное внимание уделяется вопросу сходимости формального деформированного произведения для достаточно широкого запаса функций на фазовом пространстве. Важную роль в этом подходе играют возникающие по ходу дела локально выпуклые топологические алгебры, интересные и сами по себе. Какой-либо общей теории, которая, в частности, устанавливала бы существование неформального деформационного квантования в достаточно общем случае, на данный момент пока не существует. Тем не менее, есть достаточно богатый запас конкретных примеров, некоторые из которых мы и разберем, сосредоточившись в основном на случае постоянных пуассоновых структур на векторном пространстве.

Каких-либо познаний в области квантования у слушателей не предполагается, поэтому в первой части доклада мы вкратце обсудим основные понятия классического деформационного квантования, а также некоторые предпосылки его появления.

21.12.2022

Александр Молокоедов
Сюжеты из спектральной геометрии

Аннотация. Одно из главных направлений спектральной геометрии — изучение собственных чисел оператора Лапласа различных многообразий с определенными граничными условиями. В своем докладе я сделаю небольшой обзор краевых задач и основных результатов по ним, а также разберу несколько конкретных примеров.

14.12.2022

Мария Вышегородцева
Энтропия в операторных алгебрах

Аннотация. Рассказ будет посвящен понятию динамической энтропии, начиная с мотивации и классического определения, и продолжая обобщениями на операторные алгебры. Мы будем во многом следовать книжке Dynamical Entropy in Operator Algebras (Sergey Neshveyev, Erling Størmer), а также обсудим некоторые новые результаты.

07.12.2022

Борис Билич
Спектр Тейлора для алгебр конечного типа

Аннотация. Спектр Тейлора конечного набора коммутирующих операторов является обобщением спектра одного оператора. Он также обладает свойством отображения спектра: спектр полинома f(T₁, … ,T_n) от операторов совпадает с образом спектра Тейлора под действием f. Предположим теперь, что мы обобщили спектр Тейлора на какой-то класс некоммутирующих наборов операторов. В таком случае мы бы, конечно, хотели, чтобы для нашего спектра тоже выполнялась некоторая форма свойства отображения. Моя идея заключается в том, что такое свойство можно, на самом деле, взять в качестве определения некоммутативного спектра! В докладе я дам точные формулировки и докажу, что для представления алгебры конечного типа существует единственное подмножество проективного спектра, обладающее свойством отображения.

23.11.2022

Михаил Муравьев
Вводный доклад по спектральной геометрии

Аннотация. Исторически первую задачу спектральной геометрии можно сформулировать как «Можно ли услышать форму барабана?». Ответ на этот вопрос — не всегда. Далее возникает следующий ряд вопросов: «Какую форму можно услышать?», «Какие барабаны звучат одинаково?», «Как вообще может быть устроен звук барабана?».

На семинаре я строго, с математической точки зрения, поставлю описанные выше вопросы, попытаюсь на некоторые из них ответить, а также получить первые серьезные результаты спектральной геометрии, например, асимптотический закон Вейля.

16.11.2022

С. С. Акбаров
Теорема Таннаки в стереотипной теории

Аннотация. Одна из форм теоремы Таннаки называется теоремой о восстановлении для алгебр и звучит так: всякая алгебра A над полем k восстанавливается по категории Vect_A своих левых модулей как алгебра эндоморфизмов End F забывающего функтора F : Vect_A → Vect_k (оставляющего на всяком A-модуле X только структуру векторного пространства над полем k). Этот результат переносится в теорию обогащенных категорий со следующей формулировкой: всякая алгебра A в симметрической моноидальной категории M с уравнителями, в которой единичный объект I является интегральным, восстанавливается по обогащенной категории M_A своих левых модулей как алгебра эндоморфизмов End F забывающего функтора F : M_A → M (оставляющего на всяком A-модуле X только структуру объекта категории M). Из того, что категория Ste стереотипных пространств является полной и симметрической моноидальной, а единичный объект C в ней интегрален, следует, что теорема Таннаки верна и в Ste: всякая стереотипная алгебра A восстанавливается по обогащенной категории Ste_A своих левых модулей как алгебра эндоморфизмов End F забывающего функтора F : Ste_A → Ste.

09.11.2022

Игорь Фёдоров
Об одном обобщении преобразования Гельфанда на некоммутативный случай

Аннотация. По 1-й теореме Гельфанда–Наймарка, классы изометрического изоморфизма *коммутативных* унитальных C*-алгебр взаимно однозначно соответствуют классам гомеоморфзима компактных хаусдорфовых топологических пространств. Естественно попытаться выяснить, каким геометрическим объектам соответствуют некоммутативные C*-алгебры. Было несколько разных попыток это сделать. Я прорекламирую одну из получившихся конструкций. Её придумали итальянские физики и математики Cirelli, Manià, Pizzocchero и другие в 1980–1990-х годах. Судя по имеющейся литературе, большого научного значения эта конструкция не имеет. Зато она не очень сложна технически (хотя, конечно, опирается на конструкцию Гельфанда–Наймарка–Сигала и другие результаты).

Эта конструкция реализует произвольную унитальную C*-алгебру как алгебру комплекснозначных функций на множестве её чистых состояний (которое имеет структуру расслоения на проективные гильбертовы пространства над спектром; если алгебра коммутативная, то все слои точки, и всё сводится к обычному преобразованию Гельфанда). Есть явное описание, какие именно функции там получаются (функции, которые на каждом слое являются гамильтонианами полей Киллинга, и непрерывны на тотальном пространстве относительно известной равномерной структуры), и явное описание их некоммутативного умножения: оно послойное, а на каждом слое определяется через кэлерову структуру слоя. Получающиеся расслоения изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны соответствующие С*-алгебры. Но нет явного описания класса расслоений, которые так получаются из C*-алгебр. Описания морфизмов C*-алгебр в терминах таких расслоений тоже нет.

Эта история началась с переформулировки квантовой механики в терминах проективных, а не векторных, гильбертовых пространств. Я объясню эту переформулировку и, сколько успею, расскажу подробнее об описанной выше конструкции. Доказать я точно ничего не успею, но можно будет продолжить когда-то в другой раз, если будет интересно.

02.11.2022

Анастасия Янина
О множествах Хелсона на торе T^d

Аннотация. Мы рассматриваем алгебру Винера A(T^d) — банахову алгебру непрерывных на торе T^d=R^d/(2πZ)^d функций, ряды Фурье которых сходятся абсолютно. Компакт E в T^d называется множеством Хелсона, если всякая непрерывная на E функция может быть продолжена на T^d до функции из алгебры Винера. Множества Хелсона принято считать в различных смыслах «тонкими». Так, например, всякое множество Хелсона имеет нулевую лебегову меру. Более того, такие множества чувствительны к наличию арифметических соотношений, например, если множество на окружности содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии, то оно не является множеством Хелсона. Вместе с тем из одного результата И. Вика следует, что на окружности существуют множества Хелсона максимальной размерности Хаусдорфа. Мы распространяем этот результат на многомерный случай и показываем, что справедлива следующая

Теорема. На T^d существует множество Хелсона, размерность Хаусдорфа которого равна d.

26.10.2022

О. Ю. Аристов
Некоммутативные C^∞-дифференцируемые алгебры

Аннотация. Мы рассмотрим некоммутативные аналоги C^∞-дифференцируемых алгебр, а именно, проективные пределы банаховых алгебр полиномиального роста. Всякая алгебра такого вида коммутативна по модулю радикала Джекобсона и это позволяет снабдить её структурным пространством (которое состоит из классов эквивалентности сюръективных гомоморфизмов в полные треугольные алгебры) и структурным пучком (который получается с использованием универсальных локализаций). Мы в основном сосредоточимся на примерах.

19.10.2022

Александр Тертерян
Представления фреймов орбитами ограниченных операторов

Аннотация. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, f_1, f_2,… — последовательность его элементов. При каких условиях эта последовательность является одновременно и фреймом и орбитой некоторого ограниченного оператора H → H ? Следуя работе Ole Christensen, Marzieh Hasannasab, Ehsan Rashidi (2018), я расскажу два критерия реализуемости фрейма орбитой ограниченного оператора: в терминах соотношений с двойственным фреймом и в терминах ядра оператора синтеза, а также следствия из этих результатов. Кроме того, мы обсудим некоторые свойства операторов, которые в принципе могут реализовать хотя бы один фрейм орбитой некоторого элемента. Все необходимые определения будут даны по ходу доклада.

12.10.2022

Алексей Пирковский
Плоские топологические модули и новый функтор Tor

Аннотация. Доклад относится к той же области исследований, что и предыдущие рассказы о плоских модулях (8 и 22 февраля и 17 мая 2022 г.), но существенно опираться на них не будет — все необходимые определения я напомню. Основными действующими лицами по-прежнему будут плоские локально выпуклые модули, которые, как было показано на предыдущих докладах, должны определяться не так, как обычно определяются плоские банаховы модули или плоские модули Фреше. В этот раз речь пойдет не о достоинствах нового определения, а об одном его (квази-)недостатке: оказывается, плоские топологические модули в общем случае нельзя охарактеризовать в терминах производных функторов Tor (в отличие от плоских модулей в «чисто алгебраическом» контексте, а также плоских банаховых модулей и плоских модулей Фреше). Мы обсудим возможный выход из этой ситуации, который использует новую разновидность функтора Tor со значениями в сердцевине некоторой t-структуры на производной категории полных локально выпуклых пространств.

05.10.2022

Дмитрий Черненко
Некоторые классические, новые и несуществующие понятия суперанализа (часть 2)

Аннотация. Это продолжение доклада от 21 сентября, который был полностью посвящен классическим объектам — супермногообразиям. Теперь речь пойдет о менее известных понятиях суперанализа. Мы поговорим о нескольких подходах к понятию гильбертова суперпространства, предложенных в разное время разными авторами. В конце будет сказано несколько слов о несуществующем пока понятии C*-супералгебры и о его связях с супермногообразиями и гильбертовыми суперпространствами.

Доклад почти не будет опираться на доклад от 21 сентября.

28.09.2022

Александр Калмынин
Линейная независимость частотно-временных сдвигов

Аннотация. Гипотеза Хейля-Раманатана-Топивалы утверждает, что для любой ненулевой функции f(x) из L^2(R) частотно-временные сдвиги e^iax*f(x+b) линейно независимы. Мы обсудим разные частичные результаты в направлении доказательства данной гипотезы, а также её связь с анализом Габора, гипотезой Капланского о делителях нуля и алгебрами фон Неймана.

21.09.2022

Вадим Горбатов, Дмитрий Черненко
Некоторые классические, новые и несуществующие понятия суперанализа

Аннотация. Первая часть доклада (Вадим Горбатов) будет представлять собой краткое введение в супермногообразия. Затем Дмитрий Черненко расскажет о нескольких подходах к понятию гильбертова суперпространства, предложенных в разное время разными авторами. В конце будет сказано несколько слов о несуществующем пока понятии C*-супералгебры и о его связях с супермногообразиями и гильбертовыми суперпространствами.

Seminar archive

• Fall 2020
• Spring 2020
• Fall 2019
• Spring 2019
• Fall 2018
• Spring 2018   (in Russian)
• Fall 2017   (in Russian)
• Spring 2017   (in Russian)
• Fall 2016   (in Russian)
• Spring 2016   (in Russian)