Personal webpage of Valentina Kiritchenko

Faculty of Mathematics

Краткое содержание лекций

22.03.2021 Снимок доски с лекции. Экспонента от матрицы. Линейная алгебра и решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

15.03.2021 Снимок доски с лекции. Определения: инварианты линейного оператора. Примеры: минимальный многочлен, характеристический многочлен, ЖНФ. Две матрицы являются матрицами одного и того же оператора тогда и только тогда, когда их ЖНФ совпадают.

01.03.2021 Снимок доски с лекции. Алгоритм поиска жорданова базиса в пространстве с нильпотентным оператором.

22.02.2021 Снимок доски с лекции. Определения: жорданов базис, нильпотентный оператор. Жорданова нормальная форма нильпотентного оператора.

15.02.2021 Снимок доски с лекции. Определения: жорданов блок (жорданова клетка), жорданова нормальная форма (ЖНФ) оператора. Пространство с оператором раскладывается в прямую сумму корневых подпространств. Критерий диагонализуемости оператора в терминах его минимального многочлена.

08.02.2021 Снимок доски с лекции. Определения: инвариантное подпространство оператора, прямая сумма подпространств, блочно-диагональные матрицы. Примеры: инвариантые подпространства вращения трёхмерного пространства и оператора сдвига (x_1, x_2, x_3) -> (x_2, x_3, 0). Корневые подпространства оператора. Линейная независимость собственных векторов с попарно различными собственными значениями. Достаточное условие диагонализуемости оператора в терминах его характеристического многочлена.

01.02.2021 Снимок доски с лекции. Определения: минимальный многочлен матрицы и оператора. Примеры: минимальные многочлены 2 на 2, 3 на 3 и 4 на 4 матриц. Существование и единственность минимального многочлена. Собственные значения линейного оператора совпадают с корнями его минимального многочлена. Минимальный многочлен делит каждый аннулирующий многочлен оператора.

25.01.2021 Снимок доски с лекции. Определения: характеристический многочлен матрицы и оператора, аннулирующий многочлен матрицы и оператора. Примеры: характеристический многочлен 2 на 2 матрицы. Собственные значения линейного оператора совпадают с корнями его характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли (пока без доказательства). Метод Крылова поиска аннулирующего многочлена оператора. Вычисление функций от матрицы с помощью интерполяционной формулы Лагранжа.

18.01.2021 Снимок доски с лекции. Определения: пространство с оператором, собственные векторы и собственные значения. Примеры: PageRank вектор, числа Фибоначчи, недиагонализуемый оператор. Как меняется матрица линейного оператора при переходе к другому базису. В базисе из собственных векторов матрица оператора диагональна.

11.01.2021 Снимок доски с лекции. Разбор избранных задач экзамена по геометрии и вопроса из экзамена по анализу (дифференцирование сложной функции от нескольких переменных).

30.11-07.12.2020 Определения: евклидова плоскость, расстояние между точками, длина вектора, скалярное произведение двух векторов, косинус угла между векторами, группа ортогональных преобразований. Примеры: школьная плоскость, изометрии (движения) плоскости. Симметричная билинейная форма однозначно определяется своими значениями на парах одинаковых векторов. Произведение матрицы движения на транспонированную равно единичной матрице.

23-27.11.2020 Определения: репер, аффинное подпространство, аффинное отображение. Примеры: репер на прямой, прямая, проходящая через две данные точки, параллельный перенос. Связь между репером в аффинном пространстве и базисом в векторном пространстве. Взаимосвязи аффинных и векторных подпространств, аффинных и линейных отображений.

16-20.11.2020 Определения: аффинные пространства, аффинная (барицентрическая) комбинация точек. Примеры: вещественная прямая и вещественная плоскость, геометрический смысл аффинных комбинаций двух точек на прямой (правило рычага), аффинная комбинация трёх точек на плоскости. Векторы как параллельные переносы. Центр тяжести системы точек с весами существует и единственен.

9-13.11.2020 Определения: аксиоматическое определение определителя, кососимметрические полилинейные формы. Примеры: ориентированная площадь параллелограмма, ориентированный объём параллелепипеда, разложение определителя по строке. Существование и единственность кососимметрической полилинейной n-формы в n-мерном пространстве с данным значением на эталонном базисе. Мультипликативность определителя.

2-6.11.2020 Определения: определитель матрицы, перестановка, длина и знак перестановки, площадь параллелограмма, ориентация на плоскости. Примеры: определители 2 на 2 и 3 на 3 матриц. Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора-столбца, равна определителю матрицы, составленной из этих векторов. Роль определителей в алгебре, геометрии и анализе.

26-30.10.2020 Определения: поле, подполе, мультипликативная группа поля, векторное пространство над полем. Примеры: поля рациональных, вещественных и комплексных чисел, поле, полученное присоединением корня из двух, рациональная плоскость. Связь между целочисленными и вещественными решениями однородных систем линейных уравнений с рациональными коэффициентами.

12.10.2020 Определения: ранг матрицы, ядро и образ линейного отображения. Пример: матрицы ранга один. Строчный ранг матрицы равен столбцовому. Размерность ядра линейного отображения из n-мерного пространства плюс размерность образа равна n.

05.10.2020 Определения: система линейных уравнений в матричной форме, пространство решений. Пример: пересечение двух прямых на плоскости. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Количество переменных равно размерности пространства решений плюс размерность пространства правых частей, для которых система совместна.

28.09.2020 Определения: ступенчатая матрица, элементарные преобразования строк. Пример: решение системы из трёх линейных уравнений на три неизвестных. Метод Гаусса (Фан Чэн) приведения произвольной матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

21.09.2020 Определения: порождающий набор векторов, линейно зависимый набор векторов, базис, размерность, координаты, конечномерные и бесконечномерные векторные пространства. Примеры: базис в координатном векторном пространстве, базис в пространстве многочленов. Каждые три вектора на плоскости линейно зависимы. Каждый вектор однозначно раскладывается по базису.

14.09.2020 Определения: линейные отображения векторных пространств, изоморфизм, подпространства. Примеры: линейные функции, линейные отображения координатных векторных пространств, движения плоскости и трёхмерного пространства. Линейное отображение координатного пространства однозначно задаётся образами стандартных базисных векторов.

07.09.2020 Определения: вещественные векторные пространства. Примеры: координатное векторное пространство (векторов-столбцов), пространство многочленов. Интерполяционная формула Лагранжа.

04.09.2020 Определения: матрицы, вектор-столбец, умножение матриц, линейное отображение на плоскости. Как выписать матрицу линейного отображения. При композиции отображений их матрицы перемножаются.

Примерная программа на 4-ый модуль

Определения: сигнатура квадратичной формы, положительный и отрицательный индексы инерции. Самосопряжённый оператор в евклидовом пространстве диагонализуется в ортонормальном базисе. Собственные значения самосопряжённого оператора вещественны. Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определённости квадратичной формы. Приложения в анализе (экстремумы функции нескольких переменных). Приложения самосопряжённых операторов в физике (бра и кет формализм).

  1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, том 3, Физико-математическая литература, 1988
  2. M. Artin, Algebra,  Pearson, 2011 (глава 7, разделы 2, 4-5)
  3. А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 1, §4, глава 3, §2)
  4. В.А. Зорич, Математический анализ. Часть 1. МЦНМО, 2012 (глава 7, §4)

Определения: квадратичные формы, квадрики, поляризация квадратичной формы, самосопряжённый оператор, связанный с квадратичной формой в евклидовом пространстве.  Примеры: коники. Матрица квадратичной формы и матрица соответствующего ей самосопряжённого оператора совпадают в ортонормированном базисе. Квадратичная форма в евклидовом пространстве приводится к главным осям.

  1. M. Artin, Algebra,  Pearson, 2011 (глава 7, разделы 1-6)
  2. А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 1, §4; глава 3, §§1,3)

Определения: канонический вид и сигнатура квадратичной формы над вещественными числами, изометрии (движения) евклидова пространства. Примеры: повороты на плоскости и в трёхмерном пространстве. Изометрия является линейным преобразованием. Классификация квадратичных форм над вещественными числами. Метод Лагранжа приведения квдратичной формы к каноническому виду.

  1. Ю.А. Шашкин, Неподвижные точки, М., “Наука” 1989 г.
  2. Т.Е. Панов, Линейная алгебра и геометрия, записки лекций (глава 4)
  3. M. Artin, Algebra,  Pearson, 2011 (глава 8, разделы 1-4)
  4. А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 3, §3; глава 4, §3)

Определения: ортогональное дополнение к подпространству, билинейные и квадратичные формы, матрица Грама билинейной формы, поляризация квадратичной формы, положительная определённость. Примеры: стандартное скалярного произведения. Теорема Пифагора. Неравенство треугольника. Квадрат объёма параллелепипеда как определитель матрицы Грама. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

  1. Т.Е. Панов, Линейная алгебра и геометрия, записки лекций (глава 3)
  2. M. Artin, Algebra,  Pearson, 2011 (глава 7, разделы 1-3)
  3. А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 3, §1; глава 4, §2)

Определения: скалярное произведение, евклидовы пространства, длины, углы, расстояния,  ортонормированный базис. Примеры: школьная плоскость, физическое пространство. Определитель произведения матриц равен произведению определителей. Связь понятия репера и понятия базиса. Расстояние от точки до подпространства, угол между вектором и подпространством, расстояние между скрещивающимися подпространствами.

  1. Т.Е. Панов, Линейная алгебра и геометрия, записки лекций (глава 3)
  2. M. Artin, Algebra,  Pearson, 2011 (глава 7, разделы 1-3)
  3. А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава 3, §1; глава 4, §2)

Альтернативная программа 4-го модуля (проективная геометрия). Реализована в формате онлайн-курса Геометрия. Можно использовать для самообразования.

10.06.2019 Определения: пространство и метрика Минковского, конгруэнтные отрезки и углы в модели на гиперболоиде. Связь между движениями плоскости Лобачевского и преобразованиями Лоренца из специальной теории относительности. Пять моделей геометрии Лобачевского (на гиперболоиде, Клейна, на полусфере, Пуанкаре в диске и в верхней полуплоскости) и переходы между ними.

  1. J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon, W. R. Parry, Hyperbolic Geometry, chapter from Flavors of Geometry, ed. Silvio Levy, MSRI Publications vol.31, 1997 (§7)
  2. MinutePhysics, Lorentz Transformation, видеоролик

03.06.2019 Определения: прямые и точки, конгруэнтные отрезки и углы в модели Пуанкаре в круге и верхней полуплоскости. Физическая интерпретация модели Пуанкаре. Построение биссектрисы угла и восставление перпендикуляра в модели Клейна. Доказательство теоремы Брианшона через гиперболическую геометрию.

  1. В. Ф. Каган, Основания геометрии, 1949 (часть 1) / 1956 (часть 2)
  2. C.Г. Гиндикин, Рассказы о физиках и математиках.  М., МЦНМО, 2006; глава Волшебный мир Анри Пуанкаре

27.05.2019 Определения: прямые и точки, конгруэнтные отрезки и углы, расстояние в модели Клейна. Аддитивность дефекта треугольника. Если хотя бы один треугольник на плоскости имеет нулевой дефект, то и все треугольники имеют нулевой дефект. Связь между группой движений плоскости Лобачевского и проективными преобразованиями проективной плоскости.

  1. В. Ф. Каган, Основания геометрии, 1949 (часть 1) / 1956 (часть 2)
  2. Ф. Клейн, О так называемой неевклидовой геометрии. В сборнике: Основания геометрии, М., ГИТТЛ, 1956.

20.05.2019 Определения: проективизация множества нулей однородного многочлена и проективное замыкание множества нулей неоднородного многочлена, рациональная параметризация коники. Примеры: проективизация конуса в R^3, проективное замыкание аффинной гиперболы, рациональная параметризация окружности. Связь с универсальной тригонометрической подстановкой и пифагоровыми тройками.

  1. М.Рид, Алгебраическая геометрия для всех, Мир, 1991 (глава 1, §1)
  2. А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 4, записки лекций, весна  2019 (§4.3.2)

13.05.2019 Определения: окружности большого круга на сфере, равные сферические треугольники, дефект треугольника, угол параллельности. Площадь сферического треугольника пропорциональна его дефекту. Пятый постулат Евклида и эквивалентные ему утверждения (аксиомы Прокла-Плейфера, Валлиса, Лежандра и Льюиса Кэролла). Аксиома Лобачевского и гиперболическая геометрия. Модель Кэли-Клейна гиперболической геометрии.

  1. В. Ф. Каган, Основания геометрии, 1949 (часть 1) / 1956 (часть 2)
  2. Н.И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий, М.-Л., изд-во Академии Наук СССР, 1945
  3. Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 2. Геометрия. М.: Наука, 1987
  4. Васильев Н., Гутенмахер В. Сумма углов сферического многоугольника // «Квант», № 2, 1988
  5. Э. Эбботт. Флатландия. Д. Бюргер. Сферландия, любое издание

29.04.2019 Определения: инверсия относительно окружности на евклидовой плоскости, арбелос Архимеда. Связь инверсии и дробно-линейных преобразований комплексной прямой. Два взгляда на “школьную плоскость” как на аффинную карту (1) вещественной проективной плоскости и (2) комплексной проективной прямой.  Полезные инструменты: (1) – проективные преобразования, двойное отношение, полярная двойственность, (2) – инверсии. Теорема о бабочке через проективные преобразования. Задача Паппа об арбелосе через инверсию.

  1. И.Д.Жижилкин, Инверсия, МЦНМО, 2009
  2. А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 6, записки лекций, весна  2019

22.04.2019 Определения: проективная двойственность, полярная двойственность относительно коники, полюс и поляра. Примеры: полярное преобразование плоскости относительно окружности, задача Штейнера о пяти кониках. Теоремы Паскаля и Брианшона как двойственные утверждения.

  1. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936 (глава 3)
  2. А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 4, записки лекций, весна  2019
  3. А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 5, записки лекций, весна  2019

15.04.2019 Определения: проективные преобразования, дробно-линейные преобразование, двойное отношение, полный четырёхсторонник. Примеры: дробно-линейные преобразования прямой, инварианты четвёрки прямых на векторной плоскости. Проективное преобразование n-мерного проективного пространства определяется образами n+2 точек, никакие n+1 из которых не лежат в одной гиперплоскости. Теорема Мёбиуса-фон Штаудта (без доказательства).

  1. А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава  5, §3; глава 7, §6)
  2. А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 5, записки лекций, весна  2019

08.04.2019 Определения: проективизация векторного пространства, проективные пространства и подпространства, однородные координаты, аффинные карты, аксиомы абстрактной проективной плоскости. Примеры: законы перспективы, вещественная и комплексная проективная прямая, проективная плоскость, игра Доббль, задача Эйлера о 36-ти офицерах. Две различные прямые на проективной плоскости всегда пересекаются в одной точке. Теорема Паппа.

  1. А.И. Кострикин, Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра, Физико-математическая литература, 2001 (глава  5, §3; глава 7, §6)
  2. А.Л. Городенцев, Геометрия. Лекция 4, записки лекций, весна  2019
  3. ShinyMath Семь прямых или настольная геометрия, видеоролик