Материалы к лекциям и семинарам
10.12.2021 – Снимок доски. Видеозапись. Протокол Диффи-Хеллмана на эллиптических кривых. Дискретное логарифмирование. Циклические группы: абстракция и реальность. Примеры: аддитивные вычеты, мультипликативные вычеты, кривая Биткойн.
- Elementary thoughts on discrete logarithms – текст доклада Карла Померанса
- Pappus’s theorem and elliptic curves – пост из блога Теренса Тао
- What does the curve used in Bitcoin, secp256k1, look like?
Задачи для семинара 10 – кубики, снимок доски
03.12.2021 – Снимок доски. Видеозапись. Сложение точек на кубиках. Кубика в форме Вейерштрасса. Приводимые кубики и сложение точек на кониках. Связь между ассоциативностью сложения на приводимой кубике и теоремой Паскаля.
- Феликс Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, любое издание
- В.А. Острик, М.А. Цфасман, Алгебраическая геометрия и теория чисел (стр. 13-25)
- Ю.П.Соловьёв, Арифметика эллиптических кривых (статья в Кванте)
Задачи для семинара 9 – сложение точек на кривых, снимок доски
26.11.2021 – Снимок доски. Видеозапись. Проективная плоскость. Примеры. Однородные координаты, аффинные карты, проективные преобразования. Проективные коники. Изоморфизм между непустой невырожденной проективной коникой и проективной прямой.
- А. Л. Городенцев, Проективные пространства, Проективные преобразования, записки двух лекций
- Вещественная проективная плоскость минус диск равно ленте Мёбиуса (анимация)
- Поверхность Боя (анимация)
- Семь прямых или настольная геометрия (видеоролик про игру Доббль)
- Лекции по проективной геометрии (короткие видеолекции)
Задачи семинара 8 – проективные замены координат, снимок доски
19.11.2021 – переписывание контрольной
Задачи семинара 7 – рациональная параметризация окружности, снимок доски
12.11.2021 Снимок доски. Видеозапись Коники. Аффинная классификация коник. Рациональная параметризация коники.
- В.А. Острик, М.А. Цфасман, Алгебраическая геометрия и теория чисел (стр. 3-12)
- С.М.Воронин, А.Г.Кулагин, О задаче Пифагора (статья в Кванте)
05.11.2021 Снимок доски. Видеозапись. Разбор задач контрольной.
15.10.2021 Снимок доски. Алгоритм RSA – расшифровка. Тесты на простоту: Ферма, Миллера-Рабина, Агравала-Каяла-Саксены (AKS).
- It is easy to determine whether a given integer is prime (статья Эндрю Гранвиля о полиномиальном алгоритме AKS проверки числа на простоту)
- Мартин Гарднер, От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам, любое издание
Задачи семинара 6 – тесты на простоту, снимок доски
08.10.2021 Снимок доски. Одноразовый ключ: плюсы и минусы. Асимметричное шифрование Диффи-Хеллмана, цифровая подпись. Открытый ключ: плюсы и минусы. Алгоритм RSA.
- A new kind of cipher that would take millions of years to break (научно-популярная статья Мартина Гарднера о методе RSA)
- Эдгар По, Золотой жук, любое издание
Задачи семинара 5 (из-за технических проблем семинар проводился на меловой доске)
Первое домашнее задание. Срок сдачи 5 ноября.
01.10.2021 Снимок доски. Китайская теорема об остатках. Разложение факторкольца в прямую сумму колец. Разложение на простейшие дроби. Конструкция конечных полей.
- Е.Ю.Смирнов, Записки лекции о факторкольцах
Задачи семинара 4 – китайская теорема об остатках, снимок доски
24.09.2021 Снимок доски. Малая теорема Ферма. Периоды геометрических прогрессий вычетов и десятичных дробей. Мультипликативная группа поля циклическая.
- Э.Б.Винберг, Малая теорема Ферма и её обобщения
Задачи семинара 3 – теорема Ферма (малая), снимок доски
17.09.2021 Снимок доски. Основная теорема арифметики. Евклидовы кольца. Формальные степенные ряды. Простые идеалы.
- Простые и составные числа (брошюра Александра Шеня для школьников, подробно объясняющая тонкости основной теоремы арифметики)
Задачи семинара 2 – евклидовы кольца, снимок доски
10.09.2021 Снимок доски. Разбор задач 1 и 2 теста. Неприводимые, ассоциированные и обратимые элементы в кольцах, идеалы, главные идеалы. Примеры: целые числа, гауссовы целые числа, многочлены.
Задачи семинара 1 – простые числа и неприводимые многочлены, снимок доски
- Анна Вежбицкая: язык, культура, коммуникация (статья о “разложении на простые” в лингвистике, в качестве примера раскладывается смысл русского слова “судьба”)
- Language of explanation (научно-популярная статья Барри Мазура о смысле математики)
Тест (проводился на семинаре 3 сентября). Результаты теста.
03.09.2021 Снимок доски. Обзор курса: теория чисел и алгебраическая геометрия как источники вдохновения для криптографии. Два определения простоты. Алгоритм Евклида и его приложения.
- Как передать секрет (научно-популярный видеоролик об алгоритме RSA)
- Интервью с Рональдом Ривестом о конкурсе RSA-129 (буква R в RSA – это Ривест)
- A tale of two sieves (статья Карла Померанса – создателя метода квадратичного решета, с помощью которого взломали RSA-129)
- Годфри Харди, Апология математика, любое издание